Может.

всеравно сомнения. На каком основании он может это делать, если с ним заключен трудовой договор, а это все ведет к соблюдению норм закона о труде

На каком основании ?
А на каком основании он у вас работает без учета рабочего временИ? Нормы закона о труде предполагают учитывать рабочее время.

Был в Законе о труде пункт о том, что можно не учитывать рабочее время, к сожалению не помню номер пункта и точную формулировку, сейчас поискала не нашла, его убрали?

148.pants Darba laika organizēšanas īpašie noteikumi

(1) Šā likuma 131. panta pirmās daļas, 136. panta piektās daļas, 138.pantatrešās daļas, 142. panta pirmās daļas, 143. panta pirmās daļas un 145. panta noteikumus, ievērojot darba drošības un veselības aizsardzības principus, kā arī nodrošinot pietiekamu atpūtu, var neattiecināt uz situācijām, kad, ievērojot attiecīgā darba vai nodarbošanās īpatnības, darba laika ilgums netiek mērīts vai iepriekš noteikts vai to var noteikt paši darbinieki. Minētajos gadījumos nav jāveic darba laika uzskaite.

Ну вот, с божьей помощью разобрались с вашим членом!
Делайте с ним, что хотите, но лучше избегать сомнительных ситуаций, а то замучаетесь доказывать, что имеете на это право.
И почаще обращайтесь к тексту закона! Про то, что можно время не учитывать ведь знаете, а почему - вопрос.
Удачи.

Piemērojot Darba likuma 148. panta pirmajā daļā paredzēto izņēmumu, darba devējam nav pienākuma veikt Darba likuma 137. pantā atrunāto darbinieku darba laika uzskaiti.
• Jāveic grozījumi Darba līgumā, mainotdarba laika režīmu.
• Šādu kārtību var piemērot arī grāmatvedim u.tml - darbiniekiem, kuriem darba devējs piešķir autonomas lēmumu pieņemšanas pilnvaras *).
• *) Darba līgums jāpapildina ar jaunu punktu par darba laiku, ja vajag - jādzēš iepriekšējais,

Darba līgumā iespējamais teksts:
"Darba laika organizēšanas īpašie noteikumi:
ievērojot attiecīgā darba īpatnības, Darbiniekam darba laika ilgums netiek mērīts vai iepriekš noteikts vai to var noteikt pats darbinieks. Darbiniekam tiek noteiktas autonomas lēmumu pieņemšanas pilnvaras. Minētajā gadījumā nav jāveic darba laika uzskaite (Darba likuma 148. panta 1.daļa un Eiropas Parlamenta un Padomes 2003. gada 4. novembra Direktīvas 2003/88/EK “Par konkrētiem darba laika organizēšanas aspektiem” 17. panta 1. punkts).

Налоговая просила Pamatojums, почему не учитывается время - я кидал объяснение из Трудовой инспекции, от Zaiga Strode, Darba tiesību nodaļas vadošā juriskonsulte (https://lvportals.lv/e-konsultacijas/10640-kad-darba-liguma-nav-noradams-noligtais-darba-laiks-2016). Этого хватало и даже выплачивали пособия по COVID-19

и у вас были проведены отпуска во время которых, например, валдес лосеклис подписывал документы, подтверждал что то?

конечно, это он делает на основание коммерческого закона. Отпуск и болезни на это не влияют

А во время болезни/отпуска можно подписать накладную на прием товара? Нет же...

я больше про управление, подписание э-подписью договоров, акцептировать по майл счет на оплату... такого рода участие руководителя в отпуске.